Programme de Mathématiques Appliquées en Prépa ECG2

Le programme de mathématiques appliquées en deuxième année de la voie économique et commerciale (ECG) a été conçu par le ministère de l’Enseignement supérieur, de la Recherche et de l’Innovation pour répondre aux besoins spécifiques des étudiants se destinant aux grandes écoles de commerce. Ce programme vise à fournir une formation rigoureuse et équilibrée, mettant l’accent sur les compétences indispensables dans de nombreux domaines des sciences économiques et sociales.

Sommaire

Objectifs Généraux

Le programme a pour ambition de :

Structurer la pensée des étudiants en les formant à la rigueur et à la logique à travers divers types de raisonnements (par équivalence, implication, l’absurde, analyse-synthèse).
Leur fournir des outils mathématiques utiles en sciences sociales et en économie, notamment en probabilités, statistiques et optimisation.
Développer une culture des enjeux actuels de l’informatique en lien avec les problématiques des sciences sociales ou économiques, et introduire la démarche algorithmique nécessaire à la résolution de problèmes complexes.

Compétences Développées

L’enseignement vise à développer les compétences suivantes chez les étudiants :

Rechercher et mettre en œuvre des stratégies adéquates : Savoir analyser un problème, émettre des conjectures, choisir les concepts et outils pertinents.
Modéliser : Conceptualiser des situations concrètes et les traduire en langage mathématique, élaborer des algorithmes.
Interpréter : Interpréter les résultats dans des situations concrètes et avoir un regard critique sur ces résultats.
Raisonner et argumenter : Conduire une démonstration, confirmer ou infirmer des conjectures.
Maîtriser le formalisme et les techniques : Utiliser correctement les symboles et mener des calculs efficacement.
Communiquer : Comprendre et rédiger des énoncés, présenter des solutions ou démarches algorithmiques par écrit et oralement.

Architecture du Programme

Le programme de deuxième année se construit en continuité avec celui de première année, consolidant les acquis et préparant les étudiants aux enseignements spécialisés. Il est structuré en deux semestres, chaque semestre abordant des thèmes spécifiques tout en maintenant une interdépendance entre les différentes disciplines. Les contenus sont organisés autour de points forts qui trouveront leur prolongement dans les études futures des étudiants.

Premier Semestre

Algèbre Linéaire

Espaces vectoriels réels de dimension finie :
- Introduction et manipulation des espaces vectoriels concrets isomorphes à ℝⁿ :
  - On introduit les espaces vectoriels munis d’une base naturelle, donc isomorphes à ℝⁿ. Étude des familles libres, génératrices et des bases, ainsi que des sous-espaces vectoriels. Définition et propriétés des applications linéaires : image, noyau, rang. L’accent est mis sur la compréhension et la manipulation des concepts fondamentaux de l’algèbre linéaire dans des contextes concrets.
Endomorphismes et matrices carrées :
- Réduction des matrices :
  - Techniques pour simplifier les matrices, telles que la diagonalisation, permettant une manipulation plus aisée.
  - Vecteurs propres et espaces propres : Identification, calcul, et utilisation pour simplifier les endomorphismes.
  - Étude des conditions pour qu’une matrice soit diagonalisable et méthodes de diagonalisation.
  - Applications pratiques des endomorphismes réduits dans divers problèmes mathématiques et économiques.

Compléments d’Analyse

Systèmes différentiels linéaires :
- Introduction aux systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.
- Méthodes de résolution utilisant les matrices et les vecteurs propres.
- Analyse de la stabilité des solutions et étude des trajectoires des systèmes dynamiques.
Suites et séries :
- Comparaison des suites réelles à l’aide de critères de convergence.
- Étude et résolution des suites récurrentes.
- Convergence des séries de Riemann et analyse des séries à termes positifs.
Fonctions réelles d’une variable réelle :
- Comparaison des fonctions au voisinage d’un point.
- Développements limités d’ordre 1 et 2, et leurs applications pratiques en approximation et optimisation.
- Utilisation des développements limités pour analyser le comportement local des fonctions.
Intégration généralisée :
- Étude des intégrales sur des intervalles infinis et critères de convergence.
- Applications des intégrales généralisées dans le cadre des probabilités pour modéliser des phénomènes aléatoires.

Probabilités et Statistiques

Statistiques bivariées :
- Étude des séries statistiques à deux variables quantitatives.
- Calculs de covariance et ajustement par les moindres carrés pour analyser les relations linéaires entre variables.
Couples de variables aléatoires discrètes :
- Étude des lois de probabilités conjointes de couples de variables.
- Détermination des lois marginales et conditionnelles, et analyse de l’indépendance entre variables.

Deuxième Semestre

Fonctions Numériques de Deux Variables Réelles

Fonctions continues :
- Étude des propriétés de continuité des fonctions de deux variables.
- Analyse des lignes de niveau et introduction aux concepts de distance et de continuité en ℝ².
Calcul différentiel :
- Calcul des dérivées partielles, utilisation du gradient et de la matrice Hessienne pour l’optimisation.
- Identification et classification des points critiques, et détermination des extrema locaux et globaux des fonctions de deux variables.

Probabilités

Chaînes de Markov :
- Introduction aux graphes probabilistes et matrices de transition.
- Analyse des chaînes de Markov et identification des états stables.
Variables aléatoires à densité :
- Définition et caractérisation des variables aléatoires continues.
- Étude des lois usuelles (uniforme, exponentielle, normale) et application des théorèmes de transfert.
Convergences et approximations :
- Utilisation de l’inégalité de Markov et de la loi faible des grands nombres.
- Application du théorème central limite pour approximer les distributions de sommes de variables aléatoires.
Estimation :
- Introduction à l’estimation ponctuelle et par intervalle de confiance, avec applications pratiques.

Informatique

L’enseignement de l’informatique continue tout au long de l’année, couvrant des sujets variés pour compléter la formation.

Bases de données relationnelles :
- Utilisation du langage SQL pour la gestion et l’interrogation de bases de données.
- Création de tables, gestion des relations, et exécution de requêtes complexes.
Algorithmique et programmation en Python :
- Introduction à la programmation en Python, avec un accent sur la modélisation et la résolution de problèmes de maths.
- Utilisation de Python pour simuler des phénomènes aléatoires et résoudre des équations différentielles.
- Application des connaissances en algorithmique pour illustrer des concepts mathématiques et résoudre des problèmes pratiques.

Stages de Maths Prépa ECG

Pour renforcer leur compréhension et améliorer leurs performances, les étudiants en classes préparatoires peuvent participer à nos stages intensifs de maths prépa HEC ECG. Ces stages, conçus pour offrir une expérience presque sur mesure à chaque élève, visent à préparer les étudiants pour les épreuves des concours des grandes écoles de commerce.

Les trainings se tiennent pendant chaque période de vacances scolaires à Paris, et couvrent trois domaines clés : analyse, probabilités et algèbre. Dirigés par des professeurs expérimentés de classes préparatoires HEC, les stages sont organisés en petits groupes (5 à 12 élèves) pour garantir une attention personnalisée.

Calendrier des Stages Prépa HEC :

Toussaint
Noël
Février
Printemps
Prérentrée

Les stages permettent de consolider les acquis, retravailler les fondamentaux, démarrer le programme de l’année et revoir la méthodologie de travail et faire beaucoup d’exercices. Le travail se fait sur la rédaction précise et soignée, avec des séries d’exercices extraits des annales d’épreuves des concours, et supervisé par un professeur qui aide individuellement chaque étudiant. Pour en savoir plus ➔

Avec une formation solide, complétée par nos stages intensifs, les étudiants sont bien préparés pour réussir leurs concours et intégrer les grandes écoles de commerce avec des compétences analytiques et techniques de haut niveau.