Programme de Mathématiques Approfondies ECG 2

Le programme de mathématiques approfondies pour la deuxième année de la classe préparatoire ECG est conçu pour fournir une formation mathématique rigoureuse et complète. Il prépare les étudiants aux défis académiques des Grandes Écoles et leur fournit les compétences nécessaires pour utiliser les outils mathématiques dans divers domaines professionnels.

Sommaire

Objectifs Généraux de la Formation

Les objectifs principaux sont :

Structurer la pensée des étudiants et les former à la rigueur et à la logique.
Permettre la maîtrise des concepts mathématiques essentiels pour leur parcours académique et professionnel.
Développer des compétences analytiques et synthétiques pour aborder des problèmes concrets.

Compétences Développées

Le cours met l’accent sur plusieurs compétences clés :

Recherche et mise en œuvre de stratégies : Analyse de problèmes, émission de conjectures, choix de concepts et d’outils mathématiques pertinents.
Modélisation : Conceptualisation de situations concrètes, élaboration d’algorithmes et traduction en langage mathématique.
Interprétation : Capacité à interpréter des résultats mathématiques et à avoir un regard critique sur ces résultats.
Raisonnement et argumentation : Conduite de démonstrations, confirmation ou infirmation de conjectures.
Maîtrise du formalisme et des techniques mathématiques : Utilisation correcte des symboles mathématiques et réalisation de calculs pertinents.
Communication écrite et orale : Compréhension des énoncés mathématiques, rédaction de solutions rigoureuses et présentation des productions mathématiques.

Architecture des Programmes

Le programme est divisé en deux semestres, chacun abordant des sujets spécifiques en algèbre, analyse et probabilités, complétés par des travaux pratiques en informatique.

Enseignement du Premier Semestre

I. Algèbre Linéaire et Bilinéaire

Compléments d’algèbre linéaire
- Somme directe de sous-espaces vectoriels : Étude des dimensions et des bases adaptées.
- Changement de base : Matrice d’un endomorphisme, matrice de passage, formules de changement de base.
- Trace : Introduction à la trace d’une matrice carrée, invariance par changement de base.
Éléments propres des endomorphismes et des matrices carrées, réduction
- Vecteurs propres et espaces propres : Valeurs propres, vecteurs propres, spectre d’un endomorphisme et d’une matrice carrée.
- Recherche d’éléments propres : Polynômes annulateurs, valeurs propres des matrices triangulaires.
- Propriétés générales : Somme directe des sous-espaces propres, diagonalisation.
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées : Critères de diagonalisation.
Algèbre bilinéaire
- Produit scalaire : Formes bilinéaires symétriques, espaces euclidiens.
- Espaces euclidiens : Bases orthonormées, orthogonalisation, coordonnées et normes, projection orthogonale.

II. Fonctions Réelles Définies sur ℝⁿ

Introduction aux fonctions définies sur ℝⁿ
- Définitions : Continuité, fonctions polynomiales, équation du graphe, lignes de niveau.
- Continuité : Conditions de continuité, opérations sur les fonctions continues.
Calcul différentiel
- Dérivées partielles et gradient : Fonctions partielles, gradient, opérations sur les fonctions de classe C¹ et C².
- Recherche d’extremum : Définition d’un extremum local et global, condition d’ordre 1.

III. Compléments de Probabilités ; Couples et n-uplets de Variables Aléatoires Réelles

Compléments sur les variables aléatoires réelles
- Généralités : Définition, fonction de répartition, loi d’une variable aléatoire.
- Espérance et conditionnement : Espérance conditionnelle, formule de l’espérance totale.
Introduction aux variables aléatoires à densité
- Densités et fonction de répartition : Définition, transformation affine.
- Espérance des variables aléatoires à densité : Conditions d’existence, théorème de transfert.
Lois de variables aléatoires à densité usuelles
- Loi uniforme, loi exponentielle, loi normale : Caractéristiques, espérance.
- Lois γ : Définition, propriétés.
Variance des variables aléatoires à densité
- Définition et propriétés : Variance, écart-type, covariance.
n-uplets de variables aléatoires réelles
- Généralisation des propriétés de l’espérance et de la variance : Loi d’un vecteur aléatoire, indépendance, somme de variables aléatoires indépendantes.

Enseignement du Deuxième Semestre

I. Compléments d’Algèbre Bilinéaire

Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien, matrices symétriques
- Définitions et propriétés : Endomorphismes symétriques, sous-espaces propres orthogonaux.
- Projection orthogonale : Caractérisation par minimisation de la norme, application au problème des moindres carrés.
Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques
- Diagonalisation : Conditions et propriétés, matrices orthogonales.

II. Fonctions Réelles de n Variables Définies sur un Ouvert de ℝⁿ ; Recherche d’Extrema

Fonction de n variables définies sur une partie de ℝⁿ
- Continuité et différentiabilité : Extensions des notions vues au troisième semestre.
Compléments sur les fonctions de classe C² sur un ouvert de ℝⁿ
- Matrice hessienne : Définition, théorème de Schwarz.
- Développement limité d’ordre 2 : Existence et unicité.
Recherche d’extrema
- Définition et conditions d’ordre 1 et 2 : Critères pour identifier les extrema locaux et globaux.
- Extrema sous contrainte d’égalités linéaires : Conditions nécessaires et suffisantes, exemples.

III. Probabilités : Convergences, Estimation

Convergences et approximations
- Convergence en probabilité : Définitions, propriétés.
- Convergence en loi : Théorème limite central, exemples d’approximation.
Estimation
- Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance : Méthodes et critères de comparaison.

Travaux Pratiques de Mathématiques avec Python

Les travaux pratiques en informatique visent à permettre aux étudiants d’utiliser Python pour illustrer et modéliser des situations concrètes en mobilisant leurs connaissances mathématiques. Les thèmes abordés incluent :

Statistiques descriptives bivariées.
Fonctions de plusieurs variables.
Simulation de lois.
Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance.

Conclusion

Le programme de mathématiques approfondies en ECG2 est structuré pour fournir une formation complète et rigoureuse, préparant les étudiants à utiliser et interpréter les outils mathématiques dans leur parcours académique et professionnel. En insistant sur la rigueur, la logique, et l’interdisciplinarité, ce programme vise à développer des compétences pour aborder les défis de l’enseignement supérieur et du monde professionnel.

Pour plus de détails, veuillez consulter le document complet disponible ici.

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Méthodologie et Rédaction : Mise en place d’un cahier de méthodologie pour des exercices pratiques et une rédaction claire et soignée.
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