L’atelier maths

Exploration des concepts mathématiques à travers des expériences ludiques

L'atélier de mathématiques Ipécom Paris

Le champ d’application des mathématiques est immense, et il suffit bien souvent de partir de situations ou d’objets quotidiens pour arriver, de fil en aiguille, à des mathématiques profondes. Le but de l’atelier est d’aider les élèves à en prendre conscience, de façon ludique, tout en abordant des thématiques peu explorées dans les programmes. Ils aiguisent ainsi leur intuition, étoffent leur culture scientifique… Tout en s’amusant !

L’atelier de mathématiques

L’atelier est une invitation à découvrir cette science sous un nouvel angle, loin des manuels scolaires et des exercices répétitifs. Ouvert à tous les élèves et se tenant une fois par mois, cet atelier permet d’explorer les concepts à travers des expériences concrètes et ludiques choisies par le professeur. Les élèves sont ainsi immergés dans un environnement interactif et stimulant, où la curiosité est encouragée et les phénomènes mathématiques du quotidien sont démystifiés.

Voici quelques exemples qui ont été abordés cette année.

Le problème des 3 maisons et la formule d’Euler

Peut-on relier trois maisons à trois fournisseurs (eau, gaz, électricité), sans que les tuyaux ne se croisent ? Attention, ce problème se déroule sur un plan : interdiction de passer par-dessus ou par-dessous un tuyau…

Le problème des 3 maisons et la formule d'Euler

Pas si simple… Après quelques expérimentations, on arrive à se convaincre que cette énigme n’a pas de solution. Mais comment en être sûr ? Peut-être n’a-t-on pas été assez malin…

C’est là qu’intervient la formule d’Euler pour les graphes planaires, une des plus belles et élégantes formules des mathématiques. Énoncée par Leonhard Euler, cette formule stipule que pour tout graphe planaire (un graphe que l’on peut dessiner sur un plan sans que les arêtes ne se croisent), le nombre de sommets (V), moins le nombre d’arêtes (E), plus le nombre de faces (F), est toujours égal à 2 (V – E + F = 2).

En appliquant cette formule au problème des trois maisons, on démontre que si une solution existait, elle violerait cette formule. Puisque la formule d’Euler est toujours vérifiée pour les graphes planaires, cela prouve qu’il n’est pas possible de relier les trois maisons aux trois fournisseurs sans croisement des tuyaux.

Le papier froissé et le théorème de Kawasaki-Justin

Le papier froissé et le théorème de Kawasaki-Justin

Prenons une feuille de papier, froissons-la, puis déplions-la : on obtient un ensemble de droites (les plis) qui se croisent. Cet ensemble est-il complètement aléatoire, ou existe-t-il un ordre caché dans les plis du papier ? Le théorème de Kawasaki-Justin donne une réponse à cette question. Ce théorème, énoncé dans les années 1980, stipule que pour une feuille de papier froissée, les plis peuvent être décrits par une règle précise : à chaque sommet de pli (point où plusieurs plis se rencontrent), la somme des angles alternés doit être égale à 180 degrés.

Bien que relativement récent, le théorème de Kawasaki-Justin se laisse facilement exposer à des collégiens. On peut oublier la règle, le crayon et le compas, chers à Euclide : les mathématiques de l’origami s’expérimentent entièrement à la main ! Cette règle révèle l’ordre caché dans ce qui pourrait sembler un chaos de plis et montre comment les mathématiques peuvent émerger de situations aussi simples qu’une feuille de papier froissée.

Peut-on emballer une sphère avec du papier sans pli ni déchirure ?

Peut-on emballer une sphère avec du papier sans pli ni déchirure

Dessinons un triangle sur notre feuille de papier. C’est l’occasion de rappeler que la somme de ses angles vaut 180 degrés, et que chaque côté, étant en ligne droite, est le plus court chemin entre deux sommets. Mais quel est le plus court chemin entre deux points à la surface d’une sphère ? Et que peut-on dire de la somme des angles d’un triangle sphérique ? Si on pouvait emballer la sphère, elle vaudrait 180 degrés… et cela n’a pas l’air d’être le cas.

On découvre qu’il est impossible de le faire sans que le papier se plie ou se déchire, car la surface plane du papier ne peut pas se conformer parfaitement à la courbure de la sphère. C’est une excellente illustration de la différence entre la géométrie plane et la géométrie sphérique.


Voilà le genre de questions que l’on se pose à l’atelier : des questions d’apparence innocente, que l’on peut facilement s’approprier, explorer avec du papier, un crayon, une paire de ciseaux… Et qui conduisent à des mathématiques surprenantes et parfois profondes. Les sujets ne manquent pas : des bulles de savon aux calculs électoraux en passant par les tours de magie et les jeux de science des nombres. Les élèves les plus jeunes peuvent rester à un niveau ludique et exploratoire, pendant que les plus avancés réfléchissent à des démonstrations. Il y en a pour tous les goûts à l’atelier maths !

Par Fabien Besnard

Professeur agrégé à Ipécom Paris et en CPGE Scientifiques